Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи - пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.
Трапеция. Определение, формулы и свойства
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стол, еда») - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.
Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами.
Трапеции бывают:
- разносторонние ;
- равнобокие ;
- прямоугольные
.Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим - основания трапеции.
A - равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B - прямоугольная трапеция
C - разносторонняя трапеция
У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.
У боковые стороны равны, а основания параллельны.
У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям.
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
- Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
- Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
- Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
- Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
- В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)
Углы трапеции
Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .Прямыми бывают только два угла.
У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.
Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.
Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно
. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.
Как найти стороны и диагонали трапеции
Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:
В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.
a - меньшее из оснований трапеции
b - большее из оснований трапеции
c,d - боковые стороны
h 1 h 2 - диагонали
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)
В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция - вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.
Площадь трапеции
Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции - это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание - a, нижнее основание - b, а высота - h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:
S = ½ * (a+b) * h
т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.
Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию - m. Тогда
Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции - a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:
Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
где d с индексами 1 и 2 - диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.
При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Площадь равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция - это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция - это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.
Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.
- Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной - с, а и b - длины оснований:
- Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
где а - верхнее основание, с - боковая сторона.
- Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:
S = ½ * (b2 – a2) * tg α
- Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:
S = ½ * d2 * sin α
- Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.
Пусть боковая сторона - с, средняя линия - m, угол - a, тогда:
S = m * c * sin α
Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет - r.
Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:
S = 4r2 / sin α
Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):
Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:
S = a * b / sin α
(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).
Через основания и радиус окружности площадь ищется так:
Если известны только основания, то площадь считается по формуле:
Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию - m вычисляется так:
Площадь прямоугольной трапеции
Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.
Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.
Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.
- Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:
S = (a + b) * h / 2
В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:
S = (a + b) * c / 2
- Другой способ рассчитать площадь - перемножить длину средней линии на высоту:
или на длину боковой перпендикулярной стороны:
- Следующий способ вычисления - через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:
S = ½ * d1 * d2
- Еще один способ вычисления - через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.
Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:
S = (2r + c) * r
- Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:
где m - длина средней линии.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.
Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, - 180 градусам.
Прежде чем найти площадь трапеции, необходимо определится с известными элементами трапеции. Трапеция – это геометрический объект, а именно: четырёхугольник, который имеет две параллельные стороны (два основания). Другие две стороны – боковые. Если же параллельны будут и эти две стороны четырёхугольника, то это уже будет не трапеция, а параллелограмм. Если хотя бы один угол трапеции равен 90 градусов, то такая трапеция называется прямоугольной. Как найти площадь прямоугольной трапеции, рассмотрим позже. Существует также равнобедренная трапеция, название которой говорит само за себя: боковые стороны такой трапеции равны. Расстояние между основаниями трапеции называется высотой, высота очень часто используется для нахождения площади. Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон.
Основные формулы нахождения площади трапеции
- S= h*(a+b)/2
Где h – высота трапеции, a,b – основания. Самая часто используемая формула поиска площади трапеции выглядит как полусумма оснований, умноженная на высоту. - S = m*h
Где m – средняя линия трапеции, h – высота. Площадь трапеции также равна произведению средней линии трапеции на её высоту. - S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
Где d1, d2 – это диагонали трапеции, sin(d1^d2) – это синус угла, между диагоналями трапеции.
Существуют также различные формулы, выведенные из основных, а также формула для расчёта площади трапеции, когда известны все её стороны. Однако эта формула достаточно громоздкая и используется редко, ведь, зная все стороны трапеции можно просто определить высоту или её среднюю линию. Также в равнобедренную трапецию можно вписать окружность. В этом случае площадь трапеции будет высчитываться по формуле: 8*радиус окружности в квадрате.
Как найти площадь прямоугольной трапеции
Как и говорилось ранее, прямоугольной называется та трапеция, у которой хотя бы один угол прямой. Найти площадь такой трапеции очень просто. В основном, для поиска площади прямоугольной трапеции используются те же формулы, что и для обычной трапеции. Однако стоит помнить, что одна из боковых сторон такой трапеции и будет являться высотой. Также часто решение задач поиска площади прямоугольной трапеции сводится к поиску площади прямоугольника и треугольника, образованных опущенной высотой. Такие задачи достаточно просты.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.
Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия
– это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота
трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:
Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :
Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:
Допустим, дана трапеция с основаниями a
= 3 см, b
= 7 см и боковыми сторонами c
= 5 см, d
= 4 см. найдем площадь фигуры:
Площадь равнобокой трапеции
Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:
Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!
То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.
Площадь криволинейной трапеции
Отдельный случай – это криволинейная трапеция
. Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.
Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками: 
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:
Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:
Здесь F(a)
– это значение первообразной функции f(x)
в точке a
, F(b)
– значение этой же функции f(x)
в точке b
.
Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция 
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x
={-8}, слева прямой x
={-10} и осью OX
снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:
Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:
Теперь
Ответ:
площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.
Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.
И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.
Трапеция - это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.
Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
- У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
- Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
- Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
- Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
- Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
- Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
Как найти площадь трапеции
.
Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:
где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.
Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.
Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.
Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.
В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.
Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.
