Когда в конце XVIII века французский ученый Жан-Антуан-Никола де Кондоpсе начал изучать принципы коллективного принятия решений, он обратил внимание, что при соблюдении правила большинства возможны очень неожиданные результаты. Случается так, что вообще невозможно принять какое-то согласованное коллективное решение либо даже принимается такое решение, которое не поддерживается ни одним из голосующих. Например, однажды Французская академия, членом которой состоял Кондорсе, проголосовала сначала за то, что провести очередное собрание в Версале лучше, чем в Париже, затем - что лучше в Фонтенбло, чем в Версале, и, наконец, - лучше в Париже, чем в Фонтенбло. Это явление в современной политэкономии называют парадоксом Кондоpсе.
Открытый более 200 лет тому назад, парадокс Кондорсе надолго оказался забытым. В конце XIX века его повторно открыл английский математик Чарлз Доджсон (мы его лучше знаем как писателя Л. Кэрролла), но и это вторичное открытие прошло мимо внимания современников. Подлинный триумф идей Кондорсе начался лишь в 1950-е годы, когда американский экономист Кеннет Эрроу (лауреат Нобелевской премии по экономике 1972 года) придал им законченную форму в своей теореме о невозможности последовательной демократии.
В своей докторской диссертации Эрроу проанализировал условия принятия групповых решений демократическим путем при соблюдении индивидуальных предпочтений (согласно аналогии политики с рынком). При помощи экономико-математического моделирования он доказал, что последовательно демократическое принятие решений принципиально невозможно!
Более точно смысл теоремы Эрроу заключается в том, что невозможно найти такие правила голосования, чтобы всегда соблюдались все следующие элементарные правила коллективного принятия решений:
- Транзитивность (если, например, избиратель предпочитает Путина Ельцину, а Ельцина считает лучшим, чем Жириновский, то он, соответственно, считает Путина лучшим, чем Жириновский);
- Парето-эффективность (более эффективным считается решение, которое улучшает благосостояние хотя бы одного человека, не ухудшая жизнь других);
- Отсутствие диктатуры (нельзя, чтобы кто-либо мог единолично принимать ответственные решения, навязывая их остальным);
- Независимость от посторонних альтернатив (если, например, на голосование ставится вопрос о выборе между Ельциным и Путиным, то избиратель не должен голосовать за менее приятного Ельцина в расчете «расчистить дорогу» наиболее привлекательному для него Явлинскому, который на данных выборах вообще не баллотируется).
Парадокс голосования - ситуация, когда выбор той или иной процедуры голосования оказывает влияние на общественное решение. Ниже рассмотрены три парадокса голосования: парадоксы Кон- дорсе (при неполном голосовании и попарном сравнении альтернатив) и парадокс многоуровневого делегирования голосов. Парадоксы Кондорсе называют также парадоксами циклического голосования.
Парадокс Кондорсе при неполном голосовании. Рассматривается случай, когда три участника голосования А, В и С оценивают альтернативы К, L и М. Каждый индивид упорядочивает эти альтернативы по степени предпочтительности. Наиболее предпочтительной альтернативе он присваивает ранг 1, менее предпочтительной - ранг 2 и т.д. Индивидуальные предпочтения индивидов представлены в табл. 6.4. Индивидам необходимо выбрать одну альтернативу, используя процедуру Борда. Поскольку сумма рангов каждой альтернативы равна шести, а разброс рангов одинаков, данная процедура голосования в ее классическом виде не позволяет выбрать единственную альтернативу. Предположим, что организатор общественного выбора (председатель собрания) имеет полномочия упорядочить альтернативы на основе результатов неполного голосования - процедуры голосования, в которой не участвует один из индивидов. Результаты неполного голосования поддерживаются двумя третями всех индивидов, т.е. конституционным большинством. Рассмотрим два возможных сценария организации голосования.
Сценарии /. Сначала голосование проводится без индивида В, причем сравниваются альтернативы К и L. Как следует из табл. 6.4, каждый из двух голосующих индивидов А и С отдает предпочтение альтернативе К. Далее голосование проводится без индивида А, причем сравниваются альтернативы М и К. Как следует из таблицы, каждый
из двух голосующих отдает предпочтение альтернативе М. Объединяя результаты двух неполных голосований, получаем следующее расположение альтернатив по убыванию предпочтительности: М, К, L. Выбирается альтернатива М.
Сценарий 2. Сначала голосование проводится без индивида А, причем сравниваются альтернативы К и L. Сумма рангов альтернативы К равна пяти, а альтернативы L - четырем. Поэтому альтернатива L предпочтительнее. Далее голосование проводится без индивида В, причем сравниваются альтернативы М и К. Сумма рангов альтернативы М равна четырем, а альтернативы К - трем. Поэтому альтернатива К предпочтительнее. Объединяя результаты двух неполных голосований, получаем следующее расположение альтернатив по степени убывания предпочтительности: L, К, М. Выбирается альтернатива L.
Итак, делая выбор в пользу одного из двух рассмотренных сценариев, организатор голосования может манипулировать его итогами, т.е. единолично влиять на общественный выбор.
Парадокс Кондорсе при попарном сравнении альтернатив. В табл. 6.5 представлена матрица Кондорсе, полученная в результате попарного сравнения альтернатив. Единичное значение элемента к этой матрицы означает, что альтернатива К предпочтительнее альтернативы L. Единичное значение элемента к 2 з означает, что альтернатива L предпочтительнее альтернативы М. Единичное значение элемента к^ означает, что альтернатива М предпочтительнее альтернативы К. Мы пришли к абсурдному выводу, что альтернатива К одновременно является наиболее и наименее предпочтительной. Налицо случай так называемого циклического голосования , когда можно доказать, что любая альтернатива предпочтительнее любой другой альтернативы.
Матрица Кондорсе не содержит внутреннего противоречия, т.е. позволяет единственным способом расположить альтернативы по убыванию предпочтительности, если выполняются два условия.
Парадокс Конлорсе при попарном сравнении альтернатив
- 1. Имеется альтернатива - ей соответствует строка, все элементы которой равны единице за исключением диагонального, и столбец, все элементы которого равны нулю. Эта альтернатива является наиболее предпочтительной.
- 2. Если вычеркнуть указанные выше строку и столбец, то полученная матрица меньшей размерности удовлетворяет предыдущему условию, и т.д.
Парадокс многоуровневого делегирования голосов. Рассмотрим случай, когда имеются четыре уровня делегирования голосов. На низшем уровне жители каждого дома избирают своего представителя в городское собрание. Члены городского собрания избирают своего представителя в парламент, который избирает президента страны. Предположим, что каждый житель поддерживает одну из двух политических партий и голосует за представителя этой партии. На рис. 6.3 каждый индивид изображен кружком; цвет кружка соответствует поддерживаемой им партии. Как следует из рисунка, среди жителей преобладают сторонники «белой» партии - их число составляет 19 из 27, или 70%. Вместе с тем процедура многоуровневого делегирования голосов в данном случае обеспечивает должность президента представителю «черной» партии, которая нс пользуется поддержкой большинства жителей. Заметим, что при выборе представителей использовался принцип простого (и даже конституционного) большинства. Таким образом, выбор способа формирования избирательных участков и округов может оказать влияние на окончательные результаты общественного выбора.
Согласно пpинципу Кондорсе для опpеделения истинной воли большинства необходимо (в отличие от стандаpтных методов избpания депутата относительным или абсолютным большинством голосов), чтобы каждый голосующий пpоpанжиpовал всех кандидатов в поpядке их пpедпочтения. Это в корне отличается от принятых сегодня в России методов избрания президента [ ТСДНЭ ] , депутата или губернатора [ ТСДНЭ ] относительным или абсолютным большинством голосов.
Рассмотpим для лучшего понимания пpинципа Кондоpсе числовой пpимеp из его pаботы.
Будем использовать общепpинятые обозначения. Выpажение A > B > C означает, что голосующий пpедпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B - кандидату С.
23 человека: A > C > B 19 человек: B > C > A 16 человек: C > B > A 2 человека: C > A > B
Пpи сpавнении A с B имеем:
23 + 2 = 25 человек за то, что A > B; 19 + 16 = 35 человек за то, что B > A.
По теpминологии Кондоpсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.
Сpавнивая А и С, будем иметь:
23 человека за то, что A > C; 37 человек за то, что C > A.
Отсюда, по Кондоpсе, заключаем, что большинство пpедпочитает кандидата С кандидату А.
Наконец, сpавним С с В:
19 человек за то, что B > C; 41 человек за то, что C > B.
Таким обpазом, по Кондоpсе воля большинства выpажается в виде тpех суждений: C > B; B > A; C > A, котоpые можно объединить в одно отношение пpедпочтения C > B > A и если необходимо выбpать одного из кандидатов, то, согласно пpинципу Кондоpсе, следует пpедпочесть кандидата С.
Сpавним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоpитаpной системе [ ТСДНЭ ] относительного или абсолютного большинства. Для вышепpиведенного пpимеpа голосование по системе относительного большинства даст такие pезультаты: за А - 23 человека, за В - 19 человек, за С - 18 человек. Таким обpазом, в этом случае победит кандидат А.
Таким обpазом, пpавила игpы будут опpеделять победителя, и эти победители будут pазными пpи pазличных пpавилах голосования.
В другом примере, рассмотренном Кондорсе, по итогам голосования выделяются тpи утвеpждения: B > C, C > A, A > B. Но вместе эти утвеpждения пpотивоpечивы. В этом и состоит паpадокс (эффект) Кондоpсе (или паpадокс голосования). В этом случае оказывается невозможным пpинять какое-то согласованное pешение и опpеделить волю большинства. В дpугой фоpме паpадокс Кондоpсе возникает пpи постатейном пpинятии некотоpого постановления или закона, когда каждая из статей закона пpинимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвеpгается (иногда даже стопpоцентным большинством голосующих).
Тpетьей веpсией паpадокса Кондоpсе является пpинятие таких коллективных pешений, котоpые на индивидуальном уpовне не поддеpживал ни один из голосующих. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трем вопросам. Первый их них голосует «да-да-нет», второй - «да-нет-да», третий - «нет-да-да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да-да-да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.
Парадокс Кондорсе (парадокс голосования)
Проблема состоит в следующем: если в обществе не существует единодушия по поводу принятия тех или иных альтернативных программ, то каким путем можно выявить общественные предпочтения?
При изучении микроэкономики мы исходили из того, что отдельные индивидуумы поступают рационально при выборе между различными альтернативами. Один из признаков рациональности - транзитивность предпочтений индивида. Например, если вы яблоки любите больше, чем апельсины, а апельсины больше, чем грейпфруты, то при выборе между яблоками и грейпфрутами вы предпочтете яблоки. Казалось бы, если «человек экономический» в состоянии сделать рациональный выбор, то и общество в целом способно осуществить такой выбор. Но как реализовать коллективный рациональный выбор? Возможный на первый взгляд ответ - по принципу большинства при голосовании. Да, это было бы просто, если бы имелась одна программа, или альтернатива. И так же несложно было бы осуществить рациональный коллективный выбор, если было бы очевидное большинство даже при наличии более одной или двух программ (табл. 4.1).
Допустим, предлагается три программы (А, В, С) для выбора тремя индивидами (или тремя представителями одинаковых по численности групп): Красновым, Черновым и Беловым. Они ранжируют свои предпочтения, ставя А, В, С на 1-е, 2-е или 3-е место.
Таблица 4.1
Предпочтения избирателей в случае очевидного большинства голосов
В данном случае сразу видно, что общество твердо предпочитает альтернативу А. Она стоит на 1-м месте у Краснова и Чернова, т.е. большинство голосов позволило сразу выявить «победителя» среди альтернатив.
Тем не менее может сложиться ситуация, когда надо выбирать между несколькими альтернативами, и предпочтения тогда иные (табл. 4.2).
Таблица 4.2
В ситуации, представленной в табл. 4.2, придется выбирать попарно.
Вначале делается выбор между А и В - большинством голосов выберут А (Краснов и Белов предпочитают эту альтернативу, ставя ее соответственно на 1-е и 2-е место). Затем надо выбрать между В и С - выберут В (Краснов и Чернов за В). Далее надо выбрать между А и С - выберут С (Чернов и Белов за С).
Но ведь, казалось бы, если соблюдается принцип транзитивности на уровне индивидуального выбора (индивид предпочитает альтернативу А альтернативе В и альтернативу В альтернативе С), то и общество должно предпочесть альтернативу А альтернативе С. Однако в случае коллективного выбора, приведенного в табл. 4.2, наглядно показано, что принцип транзитивности нарушен. Эта таблица иллюстрирует парадокс Кондорсе, демонстрирующий непоследовательность голосования простым большинством голосов. Иначе говоря, голосование по такому правилу не всегда приводит к рациональному коллективному выбору, несмотря на демократичность этой процедуры.
Обратим внимание на то, что в рассмотренном выше примере механизм голосования приводит к «зацикливанию» . Действительно ли нам удалось найти общественные предпочтения и таковыми являются предпочтения сторонников альтернативы С? Окончательный выбор будет зависеть от порядка попарного выявления предпочтений индивидов. Так, в отличие от приведенного выше примера можно вначале выбирать между А и С, затем между В и С и, наконец, между А и В. Последний выбор окажется в пользу альтернативы В. Общество будет непрерывно двигаться по кругу, поскольку попарное голосование превращается в бесконечный цикл.
В связи с «зацикливанием» теория общественного выбора рассматривает проблему манипулирования повесткой дня. Это понятие означает, что в случае «зацикливания» исход голосования будет зависеть от индивида, определяющего процедуру голосования, т.е. порядок, соответственно которому будет проходить попарное голосование. Парадокс Кондорсе показывает, какими могут быть уловки председательствующего, чтобы протащить нужную ему программу, например программу А. Он устанавливает такую процедуру голосования, когда проигравшая при попарном выборе альтернатива выбывает из дальнейшего рассмотрения, а также определяет очередность голосования. Так, если требуется выбирать между А и С и председательствующий желает «протолкнуть» программу А, хотя ожидается, что избиратели проголосуют за С, нужно выставить хорошо подобранную программу В. И проголосовать вначале между В и С. Тогда выиграет программа В, и С выбывает из дальнейшей процедуры голосования. А потом выбирать между А и В, и в таком случае выиграет А, что и требовалось манипулятору! Проблема манипулирования, рассматриваемая в теории общественного выбора, делает понятной ту важность, которую придают участники политического процесса постам председательствующего в законодательных собраниях, избирательных комиссиях и т.п.
Мы должны констатировать, что в обществе не существует транзитивности предпочтений, поскольку результаты выбора могут меняться в зависимости от процедуры коллективного голосования. А ведь на индивидуальном уровне это невозможная ситуация. Например, если вы рациональный индивид, то, любя больше Аню, чем Валю, а Валю больше, чем Свету, вы не измените своих предпочтений относительно этих девушек, как бы попарно вам ни предложили выбирать: вначале между Аней и Валей или вначале между Аней и Светой и т.п. Аня всегда будет занимать у вас первое место, т.е. индивидуальный выбор всегда тран- зитивен.
Парадокс Кондорсе породил большой поток научной литературы. Интерес к нему вновь возник в середине прошлого века в связи с работами К. Эрроу, сформулировавшего в 1951 г. свою знаменитую теорему о невозможности . Парадокс Кондорсе может рассматриваться как частный случай этой теоремы.
- Французский философ, математик и общественный деятель маркиз МариЖан Антуан Николя де Кондорсе (1743-1794) обнаружил проблему «зацикливания» еще в 1785 г.
- Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М. : Изд.дом ГУ ВШЭ, 2004.
Тех, кто хотел бы узнать больше о такой, казалось бы, ничтожной теме, как простая голосовалка - приглашаю под кат.
Дисклаймер
Статья не претендует на историческую и научную точность. У автора нет научных публикаций и прочих заслуг по данной теме. Тем не менее, автор считает данную тему важной.Проверяем хабр
Единственное упоминание о парадоксе Кондорсе (не путать с теоремой Кондорсе о жюри присяжных) есть в комментарии пользователя TimTowdy .Немного о Кондорсе
КОНДОРСЕ Жан Антуан Никола., (1743-1794) - математик, экономист, философ, политический деятель (скорее, оппозиционер эпохи свержения французской монархии), автор книги "Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума. " (1794) (Вдумайтесь в название!). Хотя он был не только и не столько математиком, остановимся только на математической стороне его личности. Отметим лишь, что политика, в конечном итоге, стала причиной его гибели.Жан был дружен с Д"Аламбером, который был старше его на 26 лет, и Лагранжем. В 23 года он представил свой первый труд, посвященный интегральному исчислению, который закономерно получил лучшие отзывы Д"Аламбера и Лагранжа. Через 4 года он стал членом Французской АН, где на него возлагали надежды, связанные с расчетом траекторий комет. Однако Жан Антуан не стремился к полному погружению в математическую теорию, а продолжал участие в светской, политической жизни и азартных играх, по причине чего постепенно сместился к теории вероятности. В 1785 году он опубликовал работу, обозначив в ней понятие Паpадокса Кондоpсе (или Эффекта Кондорсе ). Работа была посвящена пpоблемам пpинятия коллективных pешений в ходе выбоpов депутатов пpовинциальных ассамблей . Также следует упомянуть, что с 33-х лет он был членом Петербургской АН.
В чем смысл
Представим себе группу из 10-ти участников, из которых трое являются лояльными к употреблению алкогольных напитков (для краткости, алкоголики), и семеро - непримиримыми противниками (для краткости, трезвенники). Предоставим им бюллетень для одиночного (RadioButton) голосования на тему:Казалось бы, мнение трезвенников должно быть решающим, ведь они в большинстве. Но!
Смотрим результаты
Каких напитков должно быть больше на полках магазинов
Что дальше
Важно упомянуть Теорему Эрроу , согласно которой число пунктов репрезентативной голосовалки должно быть равно одному (лайк-дислайк) или двум. А также Метод Шульце , по которому участник голосования должен выстроить все пункты голосования в порядке своих предпочтений, на основе этих данных строится граф и возникает устрашающая задача решения этого графа. Также, соответствующие ссылки у ЖЖ-юзера falcao.Заметки на полях
Подчеркнем важность понятия дислайков (пункта «против»). Это не просто выражение мнения недовольных и скептичных, а важный элемент репрезентативности.<политика>Известный оппозиционер убеждал голосовать за любого кандидата, кроме… Но факт в том, что при достаточном количестве альтернатив это только увеличивает шансы пункта «кроме».
Наиболее интересными в плане перспектив обсуждения являются «спорные» комментарии, которые набрали максимальное количество лайков+дислайков в примерно равной пропорции. Есть смысл выносить эти данные в рейтинги.
UPD:
Спасибо уважаемому неизвестному участнику, подарившему мне инвайт! Благодарен, за оказанную мне честь в виде принятия в почетное хабра-сообщество.
