Как вычитать числа с отрицательными знаками. Сложение целых чисел: общее представление, правила, примеры

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание чисел с разными знаками

Общее представление о сложении целых чисел

Сложение произвольного целого числа и нуля

Проверка результата сложения

Сложение трех и большего количества целых чисел

Правило сложения чисел с разными знаками

Примеры сложения чисел с разными знаками

План урока:

I. Организационный момент

Проверка индивидуального домашнего задания.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная организационная форма работы, самопроверка).

III. Сообщение темы урока

Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.

1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику (групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам (индивидуальная организационная форма работы).

VI. Физпауза

IX. Домашнее задание.

Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.

Задачи:

Сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
Отрабатывать умение складывать числа с разными знаками.
Развивать логическое мышление.
Воспитывать умение работать в паре, взаимоуважение.

Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Начнём урок с проверки индивидуального домашнего задания. Девизом нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского. Дома вам нужно было подумать над его словами. Как вы его понимаете? («Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»)
– Как вы понимаете слова автора? (Если мы не узнаём ничего нового, не получаем новые знания, то этот день можно считать пропавшим или несчастным. Надо стремиться к получению новых знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому, что мы опять будем узнавать что-то новое.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

– Для того чтобы изучать новый материал, надо повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас вы покажете свои знания, поработав с контрольными вопросами.

(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)

Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)

Как называются числа расположенные справа от начала координат?	Положительные
Какие числа называют противоположными?	Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными
Что называют модулем числа?	Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа
Как обозначают модуль числа?	Прямыми скобками
Сформулируй правило сложения отрицательных чисел?	Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус
Как называются числа расположенные слева от начала координат?	Отрицательные
Какое число противоположно нулю?	0
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом?	Нет. Расстояние не бывает отрицательным
Назови правило сравнения отрицательных чисел	Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше
Чему равна сумма противоположных чисел?	0

Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»

– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных вопросов? (Знать правила)

2. Устная работа с комментированием

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?

3. Самостоятельная работа

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)

– Почему последний пример вызвал у вас затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких чисел мы знаем, как находить?

III. Сообщение темы урока

– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.

IV. Изучение нового материала

– Откроем тетради, запишем дату, классная работа, тему урока «Сложение чисел с разными знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная прямая)

– Докажите, что это координатная прямая? (Есть начало отсчёта, направление отсчёта, единичный отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться складывать числа с разными знаками с помощью координатной прямой.

(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)

– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону от начала координат, т.к. число 6 – положительное (ставим цветной магнитик на получившееся число 6). К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую сторону от начала координат, т. к. (– 10) число отрицательное (ставим цветной магнитик на получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим модулем.
– Запишем пример в тетрадь:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)

Принята запись:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками

– Правило очень важное! Оно позволяет сложить числа разных знаков без помощи координатной прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок вычислять задания с положительными и отрицательными числами, надо знать правила.

V. Закрепление изученного материала

– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример решить трудно, поэтому будем использовать при решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной темы с дополнительной карточкой.)

VI. Физпауза (Выполняют стоя)

– Человек обладает положительными и отрицательными качествами. Распределите эти качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала отсчёта, отрицательные – слева от начала отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один раз, положительное – два раза. Будьте внимательны!
– Доброта , злость, жадность, взаимовыручка , взаимопонимание , грубость, и, конечно же, сила воли и стремление к победе , которые вам сейчас потребуются, так как впереди у вас самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия

– Я считаю, что вы поработали активно, старательно, участвовали в открытии новых знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

IX. Домашнее задание

Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова Роджера Бэкона: «Человек, не знающий математику, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества?

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

В этой статье мы детально разберемся с тем, как выполняется сложение целых чисел . Сначала сформируем общее представление о сложении целых чисел, и посмотрим, что представляет собой сложение целых чисел на координатной прямой. Эти знания помогут нам сформулировать правила сложения положительных, отрицательных, а также целых чисел с разными знаками. Здесь же мы подробно разберем применение правил сложения при решении примеров и научимся выполнять проверку полученных результатов. В заключение статьи мы поговорим о сложении трех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Приведем примеры сложения целых противоположных чисел. Сумма чисел −5 и 5 равна нулю, сумма 901+(−901) равна нулю, результатом сложения целых противоположных чисел 1 567 893 и −1 567 893 также является нуль.

Давайте воспользуемся координатной прямой, чтобы понять, что представляет собой результат сложения двух целых чисел, одно из которых равно нулю.

Прибавление к нулю произвольного целого числа a означает перемещение из начала отсчета на расстояние a единичных отрезков. Таким образом, мы оказываемся в точке с координатой a . Следовательно, результатом сложения нуля и произвольного целого числа является прибавляемое целое число.

С другой стороны, прибавление к произвольному целому числу нуля означает переместиться из точки, координату которой задает данное целое число, на расстояние нуль. Иными словами, мы останемся в исходной точке. Следовательно, результатом сложения произвольного целого числа и нуля является данное целое число.

Итак, сумма двух целых чисел, одно из которых есть нуль, равна другому целому числу . В частности, нуль плюс нуль есть нуль.

Приведем несколько примеров. Сумма целых чисел 78 и 0 равна 78 ; результат сложения нуля и −903 равен −903 ; также 0+0=0 .

После того, как выполнено сложение двух целых чисел, полезно проверить полученный результат. Нам уже известно, что для проверки результата сложения двух натуральных чисел нужно от полученной суммы отнять любое из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое. Проверка результата сложения целых чисел выполняется аналогично. Но вычитание целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому. Таким образом, чтобы проверить результат сложения двух целых чисел, нужно к полученной сумме прибавить число, противоположное любому из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое.

Разберемся на примерах с проверкой результата сложения двух целых чисел.

Пример.

При сложении двух целых чисел 13 и −9 было получено число 4 , выполните проверку результата.

Решение.

Прибавим к полученной сумме 4 число −13 , противоположное слагаемому 13 , и посмотрим, получится ли другое слагаемое −9 .

Итак, вычислим сумму 4+(−13) . Это сумма целых чисел с противоположными знаками. Модули слагаемых равны 4 и 13 соответственно. Слагаемое, модуль которого больше, имеет знак минус, который мы и запоминаем. Теперь вычитаем из большего модуля вычитаем меньший: 13−4=9 . Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак минус, имеем −9 .

При проверке мы получили число, равное другому слагаемому, следовательно, исходная сумма была вычислена правильно. −19 . Так как мы получили число, равное другому слагаемому, то сложение чисел −35 и −19 было выполнено верно.

До этого момента мы говорили о сложении двух целых чисел. Иными словами, мы рассматривали суммы, состоящие из двух слагаемых. Однако сочетательное свойство сложения целых чисел позволяет нам однозначно определить сумму трех, четырех и большего количества целых чисел.

На основании свойств сложения целых чисел мы можем утверждать, что сумма трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также от порядка следования слагаемых в сумме. Эти утверждения мы обосновывали, когда говорили о сложении трех и большего количества натуральных чисел . Для целых чисел все рассуждения полностью совпадают, и мы не будем повторяться.0+(−101) +(−17)+5 . После этого, расставив скобки любым допустимым способом, мы все равно получим число −113 .

Ответ:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками . Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.

Навигация по странице.

Сам/работа

Инд/ работа

Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.

Пример.

Сложите числа −5 и 2 .

Решение.

Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги, предписанные правилом сложения положительного и отрицательного числа.

Сначала находим модули слагаемых, они равны 5 и 2 соответственно.

Модуль числа −5 больше, чем модуль числа 2 , поэтому запоминаем знак минус.

Осталось поставить запомненный знак минус перед полученным числом, получаем −3 . На этом сложение чисел с разными знаками завершено.

Ответ:

(−5)+2=−3 .

Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных дробей (можно работать и с десятичными дробями , если это удобно). Разберем этот момент при решении следующего примера.

Пример.

Сложите положительное число и отрицательное число −1,25 .

Решение.

Представим числа в виде обыкновенных дробей, для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби : , и переведем десятичную дробь в обыкновенную : .

Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками.

Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4 . Для удобства выполнения дальнейших действий, приведем дроби к общему знаменателю , в результате имеем 17/8 и 10/8 .

Сейчас нам нужно выполнить сравнение обыкновенных дробей 17/8 и 10/8 . Так как 17>10 , то . Таким образом, слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому, запоминаем знак плюс.

Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями : .

Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак плюс, получаем , но - это есть число 7/8 .