С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
- подсчете (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
- натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов ).
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .
Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.
Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
- сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
- умножение: множитель × множитель = произведение;
- возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.
Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
- вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
- деление с остатком:
делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0<=r
Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности,
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.
Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.
Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .
Сравнение натуральных чисел.
Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .
Таблица разрядов и классов чисел.
|
1-й класс единицы |
1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни |
|
2-й класс тысячи |
1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч |
|
3-й класс миллионы |
1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов |
|
4-й класс миллиарды |
1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов |
|
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы. Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами. 4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения. Если b ∙ с = а , то
Формулы для деления: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числовые выражения и числовые равенства. Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением . Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части. Порядок выполнения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени. Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо. Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени. Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках. Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.
Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Общее представление о натуральных числах
На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.
Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.
Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.
Десятичная запись натурального числа
Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Указанные знаки мы называем цифрами.
Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.
Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703 , 881 , 13 , 333 , 1 023 , 7 , 500 001 . Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.
Определение 1
Записи вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не являются записями натуральных чисел, т.к. слева располагается цифра 0 .
Верная запись натурального числа, произведенная с учетом всех описанных требований, называется десятичной записью натурального числа .
Количественный смысл натуральных чисел
Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.
Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Представим некий предмет, например, такой: Ψ . Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.
Теперь представим: Ψ Ψ . Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет - 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».
Далее, по аналогии: Ψ Ψ Ψ – 3 предмета («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («четыре»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («пять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шесть»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («семь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («восемь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 («девять»).
С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.
Определение 1
Если запись числа совпадает с записью цифры 0 , то такое число называют «нуль». Нуль - не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.
Однозначные натуральные числа
Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9) , мы используем один знак – одну цифру.
Определение 2
Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.
Однозначных натуральных чисел девять: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Двузначные и трехзначные натуральные числа
Определение 3Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.
Например, натуральные числа 71 , 64 , 11 – двузначные.
Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.
Введем такое понятие как «десяток».
Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.
Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0 , то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их - 90 .
Определение 4
Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.
Например, 413 , 222 , 818 , 750 – трехзначные натуральные числа.
Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».
Определение 5
Одна сотня (1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.
Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0 , она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.
Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.
По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.
Многозначные натуральные числа
От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.
Определение 6
Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.
Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.
Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).
Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.
Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.
Чтение натуральных чисел, классы
В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:
| Число | Мужской род | Женский род | Средний род |
|
1 |
Один |
Одна |
Одно |
| Число | Именительнный падеж | Родительный падеж | Дательный падеж | Винительный падеж | Творительный падеж | Предложный падеж |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять |
Одного Двух Трех Четырех Пяти Шести Семи Восьми Девяти |
Одному Двум Трем Четырем Пяти Шести Семи Восьми Девяти |
Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять |
Одним Двумя Тремя Четырьмя Пятью Шестью Семью Восьмью Девятью |
Об одном О двух О трех О четырех О пять О шести О семи О восьми О девяти |
Для грамотного прочтения и написания двузначных чисел, необходимо выучить данные таблицы 2:
| Число |
Мужской, женский и средний род |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто |
| Число | Именительнный падеж | Родительный падеж | Дательный падеж | Винительный падеж | Творительный падеж | Предложный падеж |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто |
Десяти |
Десяти Одиннадцати Двенадцати Тринадцати Четырнадцати Пятнадцати Шестнадцати Семнадцати Восемнадцати Девятнадцати Двадцати Тридцати Сорока Пятидесяти Шестидесяти Семидесяти Восьмидесяти Девяноста |
Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто |
Десятью Одиннадцатью Двенадцатью Тринадцатью Четырнадцатью Пятнадцатью Шестнадцатью Семнадцатью Восемнадцатью Девятнадцатью Двадцатью Тридцатью Сорока Пятидесятью Шестидесятью Семидесятью Восьмидесятью Девяностью |
О десяти Об одиннадцати О двенадцати О тринадцати О четырнадцати О пятнадцати О шестнадцати О семнадцати О восемнадцати О девятнадцати О двадцати О тридцати О сорока О пятидесяти О шестидесяти О семидесяти О восьмидесяти О девяноста |
Для чтения прочих натуральных двузначных чисел будем использовать данные обеих таблиц, рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо прочитать натуральное двузначное число 21 . Это число содержит в себе 1 единицу и 2 десятка, т.е. 20 и 1 . Обратившись к таблицам, прочтем указанное число как «двадцать один», при этом союз «и» между словами произносить не нужно. Допустим, нам необходимо использовать указанное число 21 в некотором предложении, указывая на количество предметов в родительном падеже: «нет 21 яблока». Звучать в данном случае произношение будет следующим образом: «нет двадцати одного яблока».
Приведем для наглядности еще пример: число 76 , которое прочтется как «семьдесят шесть» и, к примеру – «семьюдесятью шестью тоннами».
| Число | Именительный падеж | Родительный падеж | Дательный падеж | Винительный падеж | Творительный падеж | Предложный падеж |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Сто Двести Триста Четыреста Пятьсот Шестьсот Семьсот Восемьсот Девятьсот |
Ста Двухсот Трехсот Четырехсот Пятисот Шестисот Семисот Восьмисот Девятисот |
Ста Двумстам Тремстам Четыремстам Пятистам Шестистам Семистам Восьмистам Девятистам |
Сто Двести Триста Четыреста Пятьсот Шестьсот Семьсот Восемьсот Девятьсот |
Ста Двумстами Тремстами Четыремстами Пятистами Шестистами Семистами Восьмистами Девятистами |
О ста О двухстах О трехстах О четырехстах О пятистах О шестистах О семистах О восьмистах О девятистах |
Чтобы полностью прочитать трехзначное число, также используем данные всех указанных таблиц. Например, дано натуральное число 305 . Данному числу соответствует 5 единиц, 0 десятков и 3 сотни: 300 и 5 . Взяв за основу таблицы, прочитаем: «триста пять» или в склонении по падежам, к примеру, так: «тремстам пяти метрам».
Прочтем еще одно число: 543 . Согласно правилам таблиц, звучать указанное число будет так: «пятьсот сорок три» или в склонении по падежам, к примеру, так: «нет пятисот сорока трех рублей».
Перейдем к общему принципу чтения многозначных натуральных чисел: чтобы прочесть многозначное число, необходимо разбить его справа налево в группы по три цифры, причем в крайней левой группе может быть 1 , 2 или 3 цифры. Такие группы называют классами.
Крайний правый класс – класс единиц; затем следующий класс, левее – класс тысяч; далее – класс миллионов; потом следует класс миллиардов, за ним - класс триллионов. Следующие классы также имеют название, но натуральные числа, состоящие из большого количества знаков (16 , 17 и более) редко используются на чтении, воспринимать их на слух довольно тяжело.
Для удобства восприятия записи классы отделяют друг от друга небольшим отступом. Например, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .
| Класс триллионов |
Класс миллиардов |
Класс миллионов |
Класс тысяч | Класс единиц |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Для прочтения многозначного числа называем по очереди числа, которые его составляют (слева направо по классам, добавляя название класса). Название класса единиц не произносится, а также не произносятся те классы, которые составляют три цифры 0 . Если в составе одного класса слева присутствуют одна или две цифры 0 , то они при прочтении не используются никак. К примеру, 054 прочтется как «пятьдесят четыре» или 001 – как «один».
Пример 1
Разберем подробно чтение числа 2 533 467 001 222:
Читаем число 2 , как составляющую класса триллионов – «два»;
Добавив название класса, получим: «два триллиона»;
Читаем следующее число, добавив название соответствующего класса: «пятьсот тридцать три миллиарда»;
Продолжаем по аналогии, зачитывая следующий класс правее: «четыреста шестьдесят семь миллионов»;
В следующем классе видим две цифры 0 , расположенные слева. Согласно вышеуказанным правилам чтения, цифры 0 отбрасываются и не участвуют в чтении записи. Тогда получим: «одна тысяча»;
Читаем последний класс единиц, не добавляя его название – «двести двадцать два».
Таким образом, число 2 533 467 001 222 будет звучать так: два триллиона пятьсот тридцать три миллиарда четыреста шестьдесят семь миллионов одна тысяча двести двадцать два. Используя указанный принцип, прочтем и прочие заданные числа:
31 013 736 – тридцать один миллион тринадцать тысяч семьсот тридцать шесть;
134 678 – сто тридцать четыре тысячи шестьсот семьдесят восемь;
23 476 009 434 – двадцать три миллиарда четыреста семьдесят шесть миллионов девять тысяч четыреста тридцать четыре.
Таким образом, основой правильного прочтения многозначных чисел является навык разбивать многозначное число на классы, знание соответствующих названий и понимание принципа прочтения двух- и трехзначных чисел.
Как уже становится понятно из всего вышесказанного, от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Т.е., например, цифра 3 в составе натурального числа 314 обозначает количество сотен, а именно – 3 сотни. Цифра 2 – количество десятков (1 десяток), а цифра 4 – количество единиц (4 единицы). При этом мы будем говорить, что цифра 4 находится в разряде единиц и является значением разряда единиц в заданном числе. Цифра 1 стоит в разряде десятков и служит значением разряда десятков. Цифра 3 располагается в разряде сотен и является значением разряда сотен.
Определение 7
Разряд – это позиция цифры в записи натурального числа, а также и значение этой цифры, которое определяется ее позицией в заданном числе.
Разряды имеют свои названия, мы уже использовали их выше. Справа налево следуют разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.
Для удобства запоминания можно использовать следующую таблицу (укажем 15 разрядов):
Уточним такую деталь: количество разрядов в заданном многозначном числе такое же, как количество знаков в составе записи числа. К примеру, данная таблица содержит названия всех разрядов для числа, в котором 15 знаков. Последующие разряды также имеют названия, но используются крайне редко и очень неудобны для восприятия на слух.
При помощи такой таблицы возможно наработать навык определения разряда, записывая заданное натуральное число в таблицу так, чтобы крайняя правая цифра была записана в разряде единиц и далее – в каждый разряд по цифре. К примеру, запишем многозначное натуральное число 56 402 513 674 так:
Обратите внимание на цифру 0 , находящуюся в разряде десятков миллионов – она означает отсутствие единиц данного разряда.
Введем также еще понятия низшего и высшего разрядов многозначного числа.
Определение 8
Низший (младший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд единиц.
Высший (старший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд, соответствующий крайней левой цифре в записи заданного числа.
Так, например, в числе 41 781: низший разряд – разряд единиц; высший разряд – разряд десятков тысяч.
Логически следует, что возможно говорить о старшинстве разрядов относительно друг друга. Каждый последующий разряд при движении слева направо ниже (младше) предыдущего. И наоборот: при движении справа налево каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. К примеру, разряд тысяч старше разряда сотен, но младше разряда миллионов.
Уточним, что при решении некоторых практических примеров используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых заданного числа.
Кратко о десятичной системе счисления
Определение 9Система счисления – метод записи чисел при помощи знаков.
Позиционные системы счисления – такие, в которых значение цифры в составе числа зависит от ее позиции в записи числа.
Согласно данному определению, можно говорить о том, что, изучая выше натуральные числа и способ их записи, мы пользовались позиционной системой счисления. Особое место здесь играет число 10 . Счет мы ведем десятками: десять единиц составляют десяток, десяток десятков объединится в сотню и т.д. Число 10 служит основанием этой системы счисления, и саму систему также называют десятичной.
Помимо нее, существуют и прочие системы счисления. Например, информатика использует двоичную систему. Когда же мы ведем счет времени, то задействуем шестидесятеричную систему счисления.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
